这是我国古代的一道著名算题，用有关同余的理论来解答此题比较简便，但用整除的知识来解答确也是一个好方法。
解 设兵数为x，由题目可知：
①30000＜x＜40000
②“均分成5营，则余1人”使我们知道：x的末尾数字是1或6，然后又均分成6营，余5人，因5是奇数，6是偶数，所以x末尾数字不可能为6，只可能为1。
抓住“均分成6营，则余5人”和“均分成13营，则余5人”就得到：13|（x-5）、6|（x-5），因（13，6）=1，所以78|（x-5），且经计算商的范围在385和512之间，若设商为n，那么兵数x可以表示为78n＋5（385≤n≤512），x的末尾数字是1，那么x-5的末尾数字一定是6，（x-5）÷78的商n的末尾数字也只能是2或7，这就是说x可能为：30191、30581、30971、31361、31751、32141……39941（相邻两数之差是390）。但由于“均分成7营，则余4人；均分成11营，则余10人”，因此还得将以上的数检验一下，为了方便起见，可用数的整除特征来检验。当检验得知32141符合题意时，还得继续往下检验，因为有可能不止这一个数，但不必重复前面的步骤。具体做法如下：32141-10=32131，又32131＋390m＜40000，则m≤20，已知11|32131，如11|390m，就有11|32131＋390m，仅当m=11时。则从中可知36431除以11余10，但用来除以7时并不余4，而是余3，表明x=36431是不符合题意的。由此就可确定此题有唯一解，即x=32141。
